算数の問題解決における図による問題把握の研究
廣井弘敏
１．研究の目的
算数の問題解決において，図をかくことは，問題解決ストラテジーとして数学教育者によって長い間支持されている。ところが，筆者は問題解決にあたり，図は教師の説明の道具となっていても，子どもの問題解決の道具とはなっていないことがあると思うようになった。
問題解決で教師が図をかくことを奨励する場合がある。その時，よくよく子どもの様子を観察してみると，分かる子はすぐに立式し，分からない子は，いたずらに数を並べて計算する現状があった。そして，仮に図をかいても，その後の活動が停滞する子どもが多かった。このことは，子どもが図をかいて問題解決を進めることについて，教師が十分な認識を得ていない例を示しているのではないかと考える。
そこで本論文では，子どもが問題解決に図をどのように使うのかを，子どもの実際の活動の様子から分析する。そして，その結果をもとに，図による問題把握を進めるための教師の支援のあり方を明らかにすることを目的とする。
2. 本研究の概要
第１章では，問題解決に子どもが図を道具としてうまく使っていないことに関して，図の制約の面から問題提起をした。そして，図の制約が子どもの実態としてどのように起こっているのかについて，先行研究から確認した。
第２章では，制約が少なく，心理的に同型性を得やすい「子どもが自由にかく図」をもとに分析している先行研究を概観した。しかし，先行研究から得られた結果が主に学習者の問題解決後に残された図を根拠にして導き出されていたため，学習者が解決の過程で図にどのように関わったのかについては，明らかにされていないことが分かった。
そこで，最初にかいた素朴な図が，子どもの理解に伴ってどのように変化していくのかを扱った論文に関して，花形(1990)，Gibson（1998），等の論文を概観した。これらの論文から，学習者の理解に伴って図が変化し，学習者がその変化した図をもとに問題把握を進めていることが見いだされた。しかし，問題解決の過程で刻々と変化する図を，学習者がどのように捉えていたのかについては，明らかにされていないことが分かった｡そこで，図が学習者にとってどのように役立ったのかを，その図の変化と発話に着目し，活動分析を通して明らかにしていく必要があると考えた。
第３章では，実際に行った調査から，小学５年生の子どもが問題把握に図をどのように使用していたのかについて，活動を詳細に分析した。その結果，子どもが問題解決する際の図の使用の実態として次のような知見を得た。
- 子どもは問題の条件を１つの図にまとめることで，不整合となっている考えに気付いた。
- 子どもは，問題中の２つの条件を１つの図にまとめようとしたとき，違和感を覚える発話をした。その後，違和感の根源である不整合の解消に向けて，図の意味付けの変更，図による視覚的な情報，更には，その後行った計算が支えとなり，問題の構造に気付いた。
- 子どもは，計算結果を図に当てはめることで不整合となっている考えに気付いた。
- 子どもは，１つの条件につき１つの図をかいた。そして，その内の２つの図に計算結果を当てはめた結果，両者の図に関して不整合を起こしていることに気付いた。その後，図中の同値となっている部分を置き換えることで，問題の構造を理解した。
第４章では，第３章の結果から，図を問題解決の道具としてうまく使うことのできない子どもに対して，図による問題把握を進めるための支援を想定した。そして，子どもが問題把握に図を生かすための教師の支援のありようについて詳細に分析した。その結果，教師の支援について，次のような知見を得た。
- 子どもに既知の文脈に沿うイメージングをさせる支援によって，子どもは図に問題文にはない新たな情報を得て，問題把握を進めることができた。
- 色紙の枚数を求める問題を読み，最初に考えた方法にこだわりつづけた子どもがいた。そこで，子どもにとって既知である色紙を配る文脈に沿うイメージングをさせた。すると，最初に考えた方法の文脈にとらわれず，図に操作を加えながら色紙を配る状況を作り出し，そこから新たな情報を得て問題把握を進めた。
- 1つの条件をイメージングさせる支援によって，子どもは他の条件とは独立に素朴なイメージを図に表現し，その図から得られた新たな情報をもとに問題把握を進めることができた。
- 問題を読み，最初に考えた方法にこだわり続けた子どもがいた。１つの条件をイメージングさせると，その条件が成立する図をかくことができた。そして，その図から新たな情報を引き出し，問題把握を進めた。
- 子どものかいた図と既に行った活動を結びつける支援によって，子どもは，図の中に生じた不整合を解消させる中で，あるいは，図に表れている数値を意味付ける中で問題把握を進めることができた。
- 問題解決において行った活動間の不整合に気付かなかった子どもがいた。子どものかいた図と既に行った活動を結びつける支援の後，子どもは不整合を自覚し，かいた図の修正や，異なる考えの図へ取り込みで問題把握を進めた。
また，子どものかいた図と既に行った活動を結びつける支援によって，新たに図の意味を考える必要性を感じ，問題把握を進めた子がいた。
3. 今後の課題
今回得られた支援が，他の構造をもつ問題に対して，どの程度有効に働くのかについて明らかにする必要がある。また，子どもの問題解決の文脈に関わる教師の支援には不明な点も多い。そして，実際の授業における方策については，今後の課題として残されている。
4. 主な参考文献
- Gibson, D. (1998). Students’ use of diagrams to develop proofs in an introductory analysis course. In A. H. Schoenfeld, J. Kaput, & E. Dubinsky (Ed.), Research in collegiate mathematics education, vol. 3 (pp. 284-307). American Mathematical Society.
- 花形恵美子. (1990). 文章題の解決過程における絵の役割. 日本数学教育学会誌, 72(12), 28-36.
指導 布川和彦 岡崎正和
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