\documentclass[a4paper,11pt]{jarticle}



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\newtheorem{th1}{定理}



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  \kanjiskip=0pt plus 1fill minus 1fill

  \xkanjiskip=\kanjiskip

  #2}}



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\begin{document}

\twocolumn[%

\begin{center}{\LARGE \bf モジュラー多項式} \\　\\ \end{center}

\begin{flushright} \kintou{10zw}{教科 $\cdot$ 領域教育専攻} \\

\kintou{10zw}{自然系コース（数学）}\\

\kintou{8zw}{\large 後  藤  和  也} 

\\　\\ \end{flushright}]

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楕円関数$f(z)$は，格子$L=[\omega_1,\omega_2]$と任意の$m_1,m_2 \in \mathbb Z$

に対して，{\small \[f(z+m_1\omega_1+m_2\omega_2)=f(z)\]}を満たす有理型関数で

ある．$L'=L-\{0\}$とするとWeierstrass関数

{\small

\[\wp(z)=\frac{1}{z^2}+\sum_{\omega \in L'}\left[\frac{1}{(z-\omega)^2}-\frac{1}{\omega^2}\right]\]}

は楕円関数である．ここで$g_2=60 \sum_{\omega \in L'}\frac{1}{\omega^4},\\g_3=140 \sum_{\omega \in L'}\frac{1}{\omega^6}$

とおくと，$\wp(z),\wp'(z)$は{\small \[{\wp'(z)}^2=4\wp(z)^3-g_2\wp(z)-g_3\]}

を満たす．一方，判別式が$0$でない3次曲線$y^2=x^3+ax^2+bx+c\,,a,b,c \in \mathbb C$は，

Weierstrass方程式{\small \[A_{\mathbb C} : y^2=4x^3-g_2x-g_3\,,\quad g_2,g_3 \in \mathbb C\]}で与えられる曲線に，

双有理変換により双有理同値である．このためWeierstrass方程式で与えれる

3次曲線およびそれと双有理同値な曲線は楕円曲線と呼ばれる．このとき，

射影平面において$A_{\mathbb C}$を考えることにより，

全単射{\small \[\mathbb C/L \longrightarrow A_{\mathbb C}\]}が示せる．

$\mathbb C/L$の自然な群構造と，この全単射によって，

$A_{\mathbb C}$に群構造を入れることができる．このとき$A_{\mathbb C}$における

加法は代数的である．複素トーラスどうしの同型に関しては

{\small \[\mathbb C/L \cong \mathbb C/M \Longleftrightarrow \exists s \in\mathbb C,sL=M\]}が成り立つことが証明できる．

一方，楕円曲線$A_{\mathbb C}$に対して，$j$-不変量を

{\small \[j_A=\frac{1728g_2^3}{g_2^3-27g_3^2}\]}とすると，

{\small \[A_{\mathbb C} \cong B_{\mathbb C} \Longleftrightarrow j_A=j_B\]}

が示せる．



モジュラー群$\Gamma=SL_2(\mathbb Z)$の1次分数変換に対して，

{\small \[\forall \gamma={\footnotesize \left( \begin{array}{cc}

a	&b	\\

c	&d	

\end{array} \right)} \in \Gamma ;\, f(\gamma(z))=(cz+d)^{2k}f(z)\]}を満たす，

無限遠点も含めた複素上半平面$H$上の有理型関数を保型関数という．保型関数は，

$g_2,g_3,\Delta$などの重さ$2k$の格子の関数

$F(\lambda L)=\lambda^{-2k}F(L)\,,\lambda \in \mathbb C^\times$と，

{\small \[F(L)=\omega_2^{-2k}f(z)\,,\quad z=\omega_1/\omega_2\]}により1対1対応

する．これを使うと$g_2(z)=\omega_2^{4}g_2(L)$，$g_3(z)=\omega_2^{6}g_3(L)$と

保型関数に変換できる．{\bf モジュラー関数}を{\small \[j(z)=\frac{1728g_2(z)^3}{g_2(z)^3-27g_3(z)^2}\]}と定義する．これは，重さ$0$の保型関数である．

$j$は全単射

{\small \[j:\Gamma \backslash H \longrightarrow  \mathbb C\]}を与える．

これを使うと$j(L)=j(\tau),\tau=\omega_1/\omega_2$を用いて，

{\small \[\exists s \in\mathbb C,sL=M \Longleftrightarrow j(L)=j(M) \]}が

示せる．したがって，

{\small\[\mathbb C/L \cong \mathbb C/M \Longleftrightarrow j(L)=j(M) \]}

となり，$j(z),j_A$は複素トーラス（楕円曲線）の同型類と1対1対応する

解析的表現となり，同型類をパラメトライズすることが分かる．

さらに，$c_2^3-27c_3^2 \ne 0$を満たす任意の複素数$c_2,c_3$に対して，

$c_2=g_2(L),c_3=g_3(L)$が，基底のとり方によらない不変量となるような$L$が

つねに存在すことが示せ，前に示したこととあわせて$\wp(z),\wp'(z)$はつねに

楕円曲線$y^2=4x^3-c_2x-c_3$をパラメトライズすることが分かる．



$q=e^{2\pi i \tau}$としたとき，$j(\tau)$の$q$-展開は

{\small \[j(\tau)=\frac{1}{q}+\sum_{n=0}^\infty b_n q^n \,,\quad b_n \in \mathbb Z\]}である．

また，行列式$N$を持つ原始的な整数係数行列の集合$\Delta_N^\ast$の

左$\Gamma$-剰余類の代表元$\alpha_\nu$に対して{\bf モジュラー多項式}

{\small \[\Phi_N(X,j)=\prod_{\nu=1}^{\psi(N)}(X-j\circ \alpha_\nu)\]}を

定義すると，$j\circ \alpha_\nu$の$q$-展開を用いて，

$\Phi_N(X,j) \in \mathbb Z[X,j]$が示せる．また$\Phi_N(X,j)$を使って，

{\small \[\tau \mbox{が虚$2$次数} \Longrightarrow j(\tau) \in \overline{\mathbb Z}\]}が示せる．さらに$p$を素数としたとき，Kroneckerの合同関係

{\small\[\Phi_N(X,j) \equiv (X^p-j)(X-j^p)\pmod p\]}を導ける．



$j$の特殊値は，体の有限次拡大に対する原始元になる．これは合同部分群

$\Gamma_0(N)$に対する$j\circ\alpha_\nu$の性質を調べることなどで分かる．

そして，虚2次体において，$\Gamma_0(N)$に対する保型関数体を調べることにより，

Kroneckerの関係式の因数の1つについて，基本合同式

{\small \[j(\mathfrak A \mathfrak P^{-1})-j(\mathfrak A)^p\equiv 0 \pmod {\mathfrak P}\]}を示せる．

ここで$p=\mathfrak P\mathfrak P'$，$\mathfrak A$は虚2次体の分数イデアルである．虚2次体$k$のイデアル類群$Cl_k=\{C_1,\ldots,C_h\}$に対して，{\bf 類多項式}を

{\small \[H_k(X)=\prod_{i=1}^h (X-j(C_i))\]}と定義すると，基本合同式や類体論

から$H_k(X)$は$\mathbb Z$-係数の$h$次$\mathbb Q$上既約多項式となり，これから，

$k(j(C_1))$が$k$の絶対類体

{\small \[L=k(j(C_1),\ldots,j(C_h))=k(j(C_1))\]}となることが示せる．



これらの性質を持ったモジュラー多項式と類多項式の間には，実は，

次の定理の関係が存在する．これは$z$を虚2次数としたとき，$\Phi_N(X,X)$の

根としての$j(z)$の重複度を調べることで分かる．

\vspace{3mm}



{\bf 定理}\quad $G_{\cal O}$を，虚$2$次体$k$の整環${\cal O}$に対するプロパー${\cal O}$-イデアル類群とし，$r(N,{\cal O})$を，${\rm {\bf N}} (\mu)=N$である

ような$\mu \in {\cal O}$の原始的な${\cal O}$-同値類の個数とする．このとき，

$c_N \in \mathbb Z$を定数として，整環${\cal O}$に対する類多項式を

{\small \[H_{\cal O} (X)=\prod_{\mathfrak a \in G_{\cal O}} (X-j(\mathfrak a))\]}

と定義すると，

{\small \[\Phi_N(X,X)=c_N\prod_{\cal O}H_{\cal O}(X)^{r(N,{\cal O})}\]}が

成り立つ．ただし積はすべての整環${\cal O}$をわたる．\hfill □

\vspace{3mm}



すなわち，モジュラー多項式$\Phi_N(X,X)$は，類多項式$H_{\cal O}(X)$の積に

因数分解され，そのとき現れる因数は，${\rm {\bf N}} (\mu)=N$を満たす$\mu$が

存在するような整環${\cal O}$に対するプロパー${\cal O}$-イデアル類群の

元についての類多項式であることが分かる．また，因数の指数は，$\mu$の原始的な${\cal O}$-同値類の個数に等しく，また，$[z,1]$がプロパー${\cal O}$-イデアルである

ような虚2次数$z$に対して，$\alpha_\nu(z)=z$を満たす$\Gamma \backslash \Delta_N^\ast$の

代表元$\alpha_\nu$の個数にも等しいことが分かる．そして，整環${\cal O}$は，

その判別式の絶対値が$|-4N|$または$|-4N+1|$のものまでが現れる可能性を持つことが

分かるのである．



最後に，実際に，モジュラー多項式を計算し，類多項式の積に因数分解した例を示した．

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\vspace{5mm}



\begin{center}

指  導 \quad \quad 中川　仁

\end{center}

\end{document}