\documentclass[a4paper,twocolumn,11pt]{jarticle}



\setlength{\columnseprule}{0pt}

\setlength{\columnsep}{3zw}

\pagestyle{empty}



%\topmargin=-10mm

\oddsidemargin=-3mm



\textwidth=16.4cm

\textheight=23cm



\begin{document}

\twocolumn[%

\begin{center}{\LARGE 正則関数の境界挙動について}\vspace{7mm}

\begin{flushright}

教科・領域教育専攻\\

自然系コース（数学）\\

濵 \ 田 \ 和 \ 彦\\

\vspace{8mm}

\end{flushright}

\end{center} ]

\setlength{\baselineskip}{6.4mm}



%複素変数関数論においては、正則関数の本質を示すCauchyの積分定理と、それから導かれる
Cauchyの積分公式がある。Taylor展開、Laurent級数、留数定理など複素変数関数論における
著しい結果はすべて、この公式を源流にもつといっても良いほど重要な公式である。
そしてこのCauchyの積分公式が、境界値問題の解を与えるものである。

%さらに、$|z|< \infty$で正則な関数、すなわち整関数に関するLiouvilleの定理が現れる。
この応用として代数学の基本定理が導かれ、さらに正則関数の本質を最もよく表している一致の
定理および最大値原理がある。

複素平面上の１つの集合$E$で定義された複素関数$f(z)$の値域$f(E)$が有界なとき、
すなわちある正の定数$M$が存在して$E$の各点$z$で$|f(z)| \le M$が成り立つとき、
$f(z)$は$E$で定義された有界関数であるという。

一般に、複素平面上の領域$D$で正則な関数$f(z)$が定数でなければ、$|f(z)|$が$D$で
極大値をとることはない。特に、$D$が有界、$f(z)$が閉領域$\bar{D} \equiv D \cup \partial D$で
連続ならば、$|f(z)|$の$\bar{D}$における最大値は境界$\partial D$上でとられる。
これを最大値原理という。

この最大値原理の応用としては、正則関数の写像に関する基本的な定理である次のSchwarzの補題がある。

$f(z)$が$|z|0$に対して、$\zeta$の近傍$U_\zeta :|z-\zeta|<\rho$が存在し、
$D$と$U_\zeta$との共通部分では、$|f(z)|0$に対して、
関数${\rm e}^{\delta z}$よりも関数$f(z)$がゆるやかに増大するときについて考察する。

$D$は右半平面を表し、$f$は領域$D$内で$C-$解析的であると仮定する。
もし虚軸上で$|f(z)| \le 1$かつ、任意の$\epsilon >0$に対して領域$D$のいたる
ところで

\[|f(z)| \le A_\epsilon {\rm e}^{\epsilon |z|}\]

となるようなある定数$A_\epsilon$が存在するならば、そのとき上の式$|f(z)| \le 1$は
すべての$z \in D$に対して成り立つ。

次に、右半平面上の原点中心の角度$\alpha$の角領域$\Delta$について考察する。

角領域$\Delta$を

\[\Delta =\left \{ z:- \frac{\alpha}{2} < \arg z < \frac{\alpha}{2} \right \} \]

とする。ここで、$\alpha$は$0 < \alpha < 2 \pi$とし、
$f$は角領域$\Delta$内で$C-$解析的であると仮定する。もし、
$\partial \Delta$上で$|f(z)| \le 1$かつ、任意の$\epsilon >0$に対し、
定数$A_\epsilon$が$|f(z)| \le A_\epsilon {\rm exp}(\epsilon |z|^{\frac{\pi}{\alpha}})$と
なるように存在すれば、そのとき上の式$|f(z)| \le 1$は、角領域$\Delta$のいたる
ところで成り立つ。

これは、角度$2 \pi$の角領域を考えることで、全平面へと拡張できる。

さらに、任意の帯領域$\Delta$内で正則な場合についてに考察を進める。



$f(s),(s=\sigma +it)$は、領域$\Delta : \alpha \le \sigma \le \beta \ ,\ t \ge 0 $で正則で、
$\Delta$内で$|f(s)| \le Kt^\gamma\ ,\ \gamma>0\ ,\ (0 < t_0 \le t)$となる
定数$K,\gamma$が存在するとする。もし、$t \to \infty$のとき、

\[|f(\alpha +it)|={\cal O}(t^a),\quad |f(\beta +it)|={\cal O}(t^b)\]

ならば、

\[|f(\sigma +it)|={\cal O}(t^{a \frac{\beta - \sigma}{\beta -\alpha}+b \frac{\sigma -a}{\beta -\alpha}}),\quad (\alpha < \sigma < \beta )\]

である。

最後に、角度$2 \pi$の角領域の中で、$C-$解析的関数として見ることの
できる整関数について述べる。

もし$f$が定数でない整関数で、各々の$\epsilon>0$に
対して定数$A_\epsilon$が、

\[|f(z)| \le A_{\epsilon}\,{\rm e}^{\epsilon\sqrt{|z|}}\]

となるように存在するなら、そのとき$f(z)$は、すべての半直線上で
非有界である。



\begin{flushleft}

参考文献 \\

\end{flushleft}

\quad [1]Bak,J.\& Newman,D.J.,{\it Complex Analysis},2nd edit.,Springer-Verlag,New York,1996

\begin{flushright}

指導 \quad 田中 \quad 博 \\

\end{flushright}

\end{document}