\documentclass[a4paper,11pt]{jarticle}
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\begin{document}
\twocolumn[%
\begin{center}{\LARGE \bf 超楕円曲線の合同ゼータ関数} \\ \\ \end{center}
\begin{flushright} \kintou{10zw}{教科 $\cdot$ 領域教育専攻} \\
\kintou{10zw}{自然系コース（数学）}\\
\kintou{8zw}{\large 罍 \quad 和 弘}
\\ \\ \end{flushright}]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
$19$世紀以来,ゼータ関数と名のつく特殊関数が数多く定義されている．$L$関数もこの特殊関数の
一種である．これらのゼータ関数，$L$関数は互いに無関係ではなく，相互に関係を持っている．
本論文では，有限体上の超楕円曲線$C$の有理点の個数の評価を目標とし，有限体上の
合同ゼータ関数について述べていく．
合同ゼータ関数は，Riemannのゼータ関数またはDedekindのゼータ関数にならって，
Artinによって導入された．これがきわめて美しい性質を持っていることが$1940$年代に
A.Weilによって予想された．このWeil予想を解くことが，代数幾何学の発展の一つの原動力と
なった．その基本的な性質のうち，有理性および関数等式はF.K.Schmidtにより，
Riemann-Rochの定理を用いて証明された．Riemann仮説ははじめ楕円曲線の場合にHasseに
より証明され，後にWeilによって一般的な場合が示された．この証明においては，与えられた
関数体に対応する代数曲線の幾何学的考察が本質的であった．
また，$1970$年代になってE.Bombieriにより，S.A.Stepanovの考えにもとづいて，
曲線のRiemann-Rochの定理しか用いない初等的証明が与えられた．
このRiemann仮説は，Riemannのゼータ関数の零点に関するRiemann予想と類似した形になる．
このことがRienann仮説と呼ばれる所以である．
ここまでは，一般の曲線で考えているが，本論文では超楕円曲線$C$に限定して合同ゼータ関数を
考えていく．
超楕円曲線に限定することにより，Riemann-Rochの定理も用いず，指標を用いた初等的な計算に
よって超楕円曲線の合同ゼータ関数の有理性，関数等式，Riemann仮説を示していく．
先にも述べたように，ここで扱うArtinの$L$関数と合同ゼータ関数には密接な関係がある．
一般にArtinの$L$関数$L(z)$は，有限体$\mathbb{F}_{q}$において，
$\mathbb{F}_{q^{\nu}}$から$\mathbb{F}_{q}$へのノルム$\norm_{\nu}$，
トレース$\trace_{\nu}$，$\mathbb{F}_{q}$の乗法的指標$\chi$，加法的指標$\psi$，
多項式$f(X),g(X) \in \mathbb{F}_{q}[X]$に対して，
\begin{eqnarray*}
T_\nu&=&T_\nu(f,g) \\
&=& \sum_{x \in {\mathbb{F}_{q^\nu}}} \chi \left( \norm_{\nu} (f(x)) \right) \psi \left( \trace_{\nu}(g(x)) \right), \\
\beta_\nu&=& \sum_{i_1+2i_2+\cdots+\nu i_\nu=\nu} \frac{T_1^{i_1}\cdots T_\nu^{i_\nu}}{i_{1}! \cdots i_{\nu}! 1^{i_1} \cdots \nu^{i_\nu} }
\end{eqnarray*}
とおいたとき，
\begin{eqnarray*}
L(z)&=&L(z,f,g) \\
&=&\exp \left(\sum_{\nu =1}^\infty \frac{T_\nu}{\nu} z^\nu \right)=1+\sum_{\nu=1}^{\infty}\beta_{\nu}z^{\nu}
\end{eqnarray*}
と表せる．
また，係数$\beta_{\nu}$は対称式の基本定理によって，
\begin{eqnarray*}
& & \beta_{\nu}= \\
& & \sum_{u_{1}, \ldots ,u_{\nu} \in \mathbb{F}_{q}} \chi (\widetilde {f}(u_{1}, \ldots ,u_{\nu}))\psi(\widetilde {g}(u_{1},\ldots,u_{\nu}))
\end{eqnarray*}
とも表せる．ここで，
$\widetilde {f}(u_{1}, \ldots ,u_{\nu}),\widetilde {g}(u_{1},\ldots,u_{\nu})$は
$\nu$と$f(x),g(x)$によって定まる多項式である．
そこで，$\chi$を$\mathbb{F}_{q}$の指数$s$の非自明な乗法的指標，
$\psi$を$\mathbb{F}_{q}$の自明な加法的指標とすると，$L(z)$が多項式で
あることがわかる．
さらにヤコビの和を用いると，$L(z)$の次数と最高次の係数がわかる．
合同ゼータ関数については，複素変数$z$のべき級数
\[ \zeta_{C}(z)= \exp \left( \sum_{\nu=1}^{\infty} \frac{\widetilde {N}_{\nu}(C)}{\nu} z^{\nu} \right)\]
によって曲線$C$の合同ゼータ関数$\zeta_{C}(z)$を定義する．
そのとき，
\[\zeta_{C}(z)= \frac{\prod_{\chi^{s}=\chi_{0},\chi \neq \chi_{0}} L(z;\chi,f)} {(1-z)(1-qz)} \]
と表せることがわかる．このことからArtinの$L$関数の性質を調べることによって，
合同ゼータ関数の性質を調べることができる．
このようにして，$l>s>1$を自然数，$s|q-1$，$s_{0}=(s,l)$，
$f(X)$を$\mathbb{F}_{q}$-係数の重根を持たない$X$の$l$次モニック多項式とするとき，
方程式$y^{s}=f(x)$によって定義される有限体$\mathbb{F}_{q}$上の曲線$C$の
合同ゼータ関数は
\begin{eqnarray*}
\zeta_{C}(z)&=& \frac{1+b_{1}z+\cdots +b_{n}z^{n} } {(1-z)(1-qz)} ,\\
n &=& (s-1)(l-1)
\end{eqnarray*}
の形であり，各$b_{i} \in \mathbb{Z}$となり最高次の係数$b_{n}$は
\[ b_{n}=(-1)^{s_{0}-1} q^{\frac{(s-1)(l-1)-s_{0}+1} {2} }\]
と表せることがわかる．
ここで，$s=2$とすれば超楕円曲線の合同ゼータ関数を得る．
さらに，$s_{0}=1$ならば，合同ゼータ関数のRiemann仮説
\begin{eqnarray*}
\zeta_{C}(z)&=& \frac{(1-\omega_{1}z)\cdots (1-\omega_{n}z) } {(1-z)(1-qz)} ,\\
n &=&(s-1)(l-1) ,\\
|\omega_{j}| &=& q^{\frac{1}{2}}, \quad j=1,\ldots,n ，
\end{eqnarray*}
と関数等式
\[ \zeta_{C}\left( \frac{1}{qz} \right)=q^{1-\frac{n}{2} }z^{2-n}\zeta_{C}(z)\]
を得る．
有限体上における超楕円曲線の有理点の個数の評価を得るために，次の基本不等式を示した．
{\bf 定理} （基本不等式）
$s,l$を$2$以上の自然数，$f(X)$を$\mathbb{F}_{q}[X]$の$l$次多項式，その既約多項式への分解を
\[ f(X)=af_{1}(X)^{s_{1}} \cdots f_{r}(X)^{s_{r}} \]
とする．ここで，
$a \in \mathbb{F}_{q}^{\times},f_{1}(X) \cdots f_{r}(X)$は$\mathbb{F}_{q}[X]$の
相異なるモニック既約多項式である．さらに，$(s,s_{1}, \ldots,s_{r})=1$かつ
$q>100sl^{2}$とする．そのとき，アファイン曲線$y^{s}=f(X)$の$\mathbb{F}_{q}$-有理点の
個数を$N$とすれば，
\[ |N-q| \leq 4s^{3/2}lq^{1/2}\]
が成り立つ． \hfill $\Box$
この基本不等式は合同ゼータ関数のRiemann仮説，関数等式の証明にも必要であった．
基本不等式と合同ゼータ関数のRiemann仮説を組み合わせてより良い評価
\[ |N_{\nu}(C)-q^{\nu}| \leq nq^{\frac{\nu}{2}}, \quad \nu=1,2,\ldots \]
を得る．
最後に，実際に，合同ゼータ関数を計算し，超楕円曲線の有理点の個数を求めた例を挙げた．
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{5mm}
\begin{center}
指 導 \quad \quad 中川 仁
\end{center}
\end{document}