• いくつかの異なるタイプの表象システムが、多様な理論的観点からのアイデアを如何にして統一するか；
• そうした表象体系が、多様なキーとなる構成物を記述したり分析したりするのを、如何にして可能にするか。

　表象システムの説明がこれに続くが、表象システムは (1) 基本的要素となる文字あるいは記号、(2) 記号を許される形状に組み合わせるための規則、(3) ある形状から別の形状への変換の規則からなる。なお、基本的要素の中には、"物体 (physical objects)" といったものも含まれる。意味の解釈については統語法的なものと意味論的なものがある。前者は、形状の作り方や形状間の関係を用いて文字や敬譲に意味を与えるものである。後者については、あるシステムが別のシステムをコード化、シンボル化していることが仮定され、このシンボル的関係により与えられるのが、意味論的な解釈となる。Goldin氏は表象システムにおいて、曖昧さを不可避のものとして認めているようである。一つには、ある現象を考えると、それがどの表象システムの話であるか不明確な場合も多く、システムの境界が曖昧なことによる。さらに、各種の規則は例外を含むことも多いが、例外を列挙すると記述モデルとしての有用性を損なう危険があるので、曖昧さをありうべき特徴と考えているようである。なお、こうした曖昧さは文脈により解消される。つまり、規則としては明確にしにくくても、文脈の中では自然と構成されたり解釈されたりするということであろう。また、数学の学習や問題解決を考えるには、外的表象の他に内的表象を扱わざるを得ないが、内的表象は観察可能な行動からの推測によるものであるから様々な問題を伴うことになり、例えば、内的表象については自分の記述が暫定的なものであると考えねばならないと、Goldin氏は指摘している。

　第３節では、外的な表象システムについて述べられるが、ここでは、統一的なモデルの第１の構成要素が、学習者や解決者の外にある課題環境の記述であるべきだと氏は指摘する。コンピュータによるマイクロワールドなどの発達により、こうした環境は動的なものとなってきているので、単なる課題の構造というよりも、表象の構造を考えねばならない。また、共有された、ある意味で標準的な表象は、自然言語や数学の表記、マイクロワールドといった個人の外にあるものを含んだ社会的プロセスを通して発達してきたので、個人の認知とは独立に、そうしたものの分析も行われるべきだとする。Goldin氏は表象システムからの観点を踏まえ、課題変数の研究は課題が提示されたときに存在する外的表象の形状と、特定の操作を通して課題から生成される形状について考えること、として理解できるとしている。

　第４節では、外的な課題環境に対する行為を媒介するものとしての、内的表象システムが考察される。まずコンピテンス(competencies)という考えが示される。これは部分的で不完全に特定された条件のもとでも課題を遂行できる能力であり、問題解決の間にとられるステップを説明するための理論的構成物である。それなりには安定しているが、文脈に依存する面もある。コンピテンスはもちろん、行動の観察や解釈から推測されるものであることを、Goldin氏は何度か繰り返している。このとき、学習はコンピテンスの獲得して、操作的に定義される。認知的表象システムはコンピテンスを記述することを意図したものであり、行動を直接記述するものでも、個人の主観的な経験を記述するためのものでもないとされる。最後に氏は、「コンピテンスというものを、新たな形状の構成も含め、内的認知的表象システムの中の形状の間を動く、個人の能力を記述することとして解釈したい」と述べている (p. 148)。

　第４節の大半はモデルの構成要素として、内的表象のシステムを説明している。このモデルは、Goldin氏がすでに以前から提唱しているものと同じもののようである。次のような５つのタイプのシステムがある。

• 言語的／統語的システム：自然言語の処理を記述する。なお自然言語には、強力な自己参照のコンピテンスがあると指摘している。
• イメージ的システム：ここには非言語的、非表記法的認知システムが含まれ、視覚的／空間的、聴覚的／リズム的、触覚的／運動的な表象システムなどがある。大雑把に言えば「意味論的」情報と言われるものをコード化するものであり、これを統一的モデルに含めることは、数学的問題解決に意味論的構造が影響を及ぼすようなメカニズムを記述することを可能にする。
• 数学のフォーマルな表記システム：数字のシステム、算術のアルゴリズム、文字式の表記等が含まれる。ただし、外的な表記ではなく、フォーマルな表記の構成や操作と結びついたコンピテンスの内的システムをここでは考えている。有意味な理解の多くではフォーマルな形状と他の種類の内的表象との関係が問題になる（アルゴリズムのうまく働く理由を考えたり表記について語る場合、場面をフォーマルな表記に直す際に媒介するイメージ等々)。
• 計画、モニタリング、実行的制御のシステム：生じている事態の把握、とるべきステップの決定、他のシステムの修正などがここに含まれる。発見法的プロセスはその一つであるが、その適用に関わる複雑さは数学という領域によるものだと、Goldin氏は述べている。
• 情意的表象システム：態度などの比較的安定したもの（大局的情意）と変わり行く感情の状態（局所的情意）の双方を含む。解決の進展の解釈や評価に情意が用いられるなど、他のシステムとの関わりがある。なお情意を表象システムと捉えることの意味として、情意が形づくられる(configured)という認識に立つこと、さらには情意的形状が能記(signifier)や所記(signified)として働きうるという考えに立つことがあげられている（解決中のイライラは試みの失敗についての情報をコード化したものであり、数学の問題に取り組むという考え自体が生徒にとってのフラストレーションを意味している)。また情意は言語としても機能すると述べられている。情意的形状の間、あるいは情意的形状と認知的なものの間の複雑なシンボル的関係を考える必要がある、ということのようである。

　第５節では学習の問題が扱われる。Goldin氏は先行オーガナイザーの話を出し、これが有効だとする調査結果と有効でないとする調査結果のあることより、内的に何が起こっていることについてのモデルが必要であり、これは認知的表象システムの分析により提供されうると述べる。内的表象システムの構成を明らかにする理論が提示されるときに、個々の技能の獲得を述べることを越えて、学習を理解する道が開けるのである。こうした理論の一つの要素として、表象システムの発達における段階をあげている。氏の考えているものは、次の３つの段階を含んでいる。

• 発明的−意味論的段階：新たなサインが作られたり学ばれる。それらは、以前に確立されている表象システムの諸側面をシンボル化するものとして、はじめから捉えられており、その点で意味論的である。場合によっては、シンボル化しているというよりも、以前のシステムの諸側面そのものとして捉えられることもある。先行オーガナイザーに関して言えば、以前の認知的システムのある特徴を外化しているような場合に、それは効果を示すことになる。これはまた、コンピテンスの評価を通して、生徒の現在の認知的表象システムを特徴づける、我々の能力に依存することになる。
• 構造的発達の段階：文字から形状が作り上げられたり、新たなシステムのための統語法的規則が構成される。この構成は主として、以前に確立されたシステムの構造的特徴から導かれる。新たなシステムの構造は、以前のシステムの意味からの必然的な帰結と考えられている。ただし、新たな文字や形状は互いに関連づき、全体的な構造を作り始める。
• 自律的段階：新たなシステムは以前のものから分離し、他のシステムとのシンボル的な関係を持ちうるようになり、文字や形状も以前とは違う意味を持ちうるようになる。Goldin氏は、抽象化を通しての他の領域への転移の可能性も、この段階に関わることとして論じている。

　第６節では、他の理論からのいくつかのアイデアとGoldin氏が提唱する枠組みとの関わりが、簡単に述べられている。取り上げられているのは、次の４つの項目である。

• 外的および内的表象システムの十分さ：個人の外にある数学的構造に関わるアイデア（例えば、問題の複雑さ、マイクロワールドのデザイン等）は、外的表象システムのことばでかなりよく表現される。また内的表象システムは、今考えられている諸理論を表現したり分析するのに十分なように見える（ちなみに、問題の意味論的構造はイメージ的システムに、概念発達の論理−数学的層はフォーマルな表記システムとして述べられている)。さらにここでの枠組みでは、内的システムの間の相互作用も組み込むことができる。意味の身体的基礎や概念の比喩的拡張は、言語的／統語的システム、視覚的／空間的システム、触覚的／運動的システムの間のシンボル化の関係、およびこれらのシステムの構成についての発達的理論を通して特徴づけられる。理解や推論における比喩の役割については、あるイメージ的表象から別のイメージ的表象への対応として解釈することで探求することできる。
• 発達の段階：Goldin氏が以前に提唱したイメージ的システムの発達的先行物である感覚的解釈装置(sensory interpreter)の構成が、ピアジェの感覚・運動的段階にあたり、最初の成熟したイメージ的システムの構成が前操作的段階にあたる。また、言語的／統語的システムの発達については、イメージ的表象システムを基礎として考えることを、氏は提唱している。
• 領域固有な数学学習とスキーマ：Goldin氏は数学学習の領域固有の議論を、認知的表象が常に知識の特定の文脈的領域において生ずることと関わらせようとしているように見える。特定の内容領域における概念的理解は、ただ一つの表象システムを含むものではなく、常に多くのタイプの表象システムを含む。個人の志向（視覚的思考とか言語的思考等）は、表象システムが単一というよりも、発見的プロセスの好みとか発達の速さの問題であると指摘している。スキーマについても、多様な表象システムにより表現されるコンピテンスの間の、高度に構造化された関係を含むとされる。
• 信念システムとミスコンセプション：信念システムも、いくつもの表象システムにまたがる構成物である。たとえば、「数学は決まった手続きにより正解を得ること」という信念は、計画のシステムに属するだけでなく、情意的システムや許される手続き、つまりフォーマルな表記システムにも属している。ミスコンセプションやメンタルモデルなども、情意やイメージといったシステムに関わっており、言語的システムにおける修正が効果を示しにくいことは、こうした他のシステムとの関わりにより説明されうる。

　本稿は氏の大きなビジョンを短い論考の中にまとめたためか、部分によっては十分に説明がなされていない印象も受け、例えば少し読んだだけでも、以下のような疑問を感じた。

• 表象システムの説明で、計画・モニタリングや情意を「表象」として扱うことには、氏の説明にも関わらず依然として違和感を感ずる。それらのシステムでの基本的要素、許される形状を作る規則、変換の規則などが何かを明示的に示すこと、またそれらを「表象」としていわゆる認知的なものとむしろ同格に扱うことの研究上、教育上の利点が示される必要があるように思われる。
• 他の理論との関係については、数学的構造のうち数学の知識体系のようなものも外的表象システムにより表現されるのかが不明である。また、ピアジェの発達段階の他のものやピアジェ以外の発達段階についても、同様に論ずることができるのかは、説明がなされていないように見える。