論文では次のような問題について考えられている；「次のようなｎ×ｎの格子を作るのに、マッチ棒は何本必要か？（図省略）」。例えば、２×２の格子なら12本のマッチが必要となる。観察、規則性の理解、上手な数え方の発見、一般化とその文字式による記録といった活動が含まれるので、彼らは現職教員のコースにとって適当であると考え、いくつかの国の教師向けコースでこの問題を用いたようである（謝辞を見ると、実施された国は、ブラジル、スペイン、オーストラリア、南アフリカ、チリ、イスラエルと思われる)。
この問題に対して出された解決の仕方として、以下のようなものが考察されている。
(1) 数値的にパタンを見つける
１×１のとき、２×２のとき、・・・とそれぞれの場合に必要なマッチ棒を求めて表にまとめる。階差数列を作って４＋８＋・・・＋４ｎの式に至った者いたが、他の多くは成功しなかった。
(2) １つの正方形からの分解
隅にある１つの正方形をまずとり、次にその横と下に並ぶ部分をＵ字（３本のマッチ）のパタンで捉え、最後に残りの部分をＬ字（２本のマッチ）のパタンで捉えるもの。結果として、４＋２×３(n−1)＋２(n−1)(n−1) となる。分解は３つの異なる単位で導かれている。再構成は、類似の単位に現れる個数をかけることと、３つの部分和を加えて全体を再現することからなる。また別の解決者は、１×１の特殊な場合を考え、それを元に２×２、３×３、・・・と拡大していく中で、上のような単位を作っていた。
(3) 大局的なパタンの知覚
格子全体の隣り合う２辺（例えば左端の１列と下端の１列）をはずし、残りをＬ（あるいはその裏返し）の集まりを見る。Ｌの部分がｎ2個あるので、２ｎ2＋２ｎとなる。少ない単位が用いられ、結果として全体のプロセスや文字式が簡単になっている。
(4) たて糸と横糸
たてに並ぶマッチを見るとどの列もｎ本であり、それがｎ＋１列ある。横のマッチも同様であるから、２ｎ（ｎ＋１）となる。今回の調査では、これが最もポピュラーならやり方であった。彼らはこのやり方について、単位を１本のマッチと考え、全体を同一単位の「集まり (conglomerate)」に分解したとし、それが全体構造の大局的な一般化になったとしている（１列の「集まり」を単位として見てはいけないか、という疑問が残るところである)。
(2)〜(4)を比べて、単位が単純であるほど全体の分解も単純になり、数え方はより大局的で統一的なものとなる、としている（これも、(4)の単位の解釈による部分はあろう)。
(5) 「揺さぶって数える」
タイトルは、ある解決者が「全体の構成を揺さぶったら、ｎ2個の小さい正方形になるのがイメージされた」と述べたことに依っている。その解決者は４ｎ2 とした後、内部のマッチ棒を(4)と同様のやり方で数え、４ｎ2 −２ｎ(ｎ−1)としている。別の解決者は、格子の周囲のマッチ棒分を加え、全マッチが２回ずつ数えられるようにした後、それを２で割ることで、（４ｎ2＋４ｎ）／２を得ている。ここでの単位である１×１正方形は、１本のマッチほど単純ではないが、構造全体に見いだせる大局的なものである。
(6) 交点
これは、４本のマッチが交わる交点に着目したものであり、マッチを並べた図では隙間になるので、はっきりとは「存在」しない単位だとしている。格子の外側に適当にマッチを加える（(ｎ＋１）本×４カ所）ことで、周囲にある交点についても４本が交わるようにする。交点は(n+1)2個あるので、元もとの格子に必要なマッチ棒は、（４(ｎ＋１)2−４(ｎ＋１））／２となる。ここでは解決者は、交点という全体に見出しうる単位を特定したことから、補助的構成を行って大局的パタンが見えるようにしている。
(7)「カット・アンド・ペースト」
格子全体である正方形を１つの対角線で切って２つの同じ三角形状に分ける。１つの "三角形" に着目すると、水平方向に並ぶマッチがｎ段あって、その本数は上から１、２、・・・、ｎとなる。縦に並ぶマッチもｎ列あって、その本数は１、２、・・・、ｎとなる。こうした三角形が２つできていたので、２×２(１＋２＋・・・＋ｎ）となる。Hershkowitz氏らはこの考え方について、「最も単純な単位 [おそらく１本のマッチ棒; 引用者] に分解することが、（全体構造に対する）大局的で視覚的なアクションと一緒に行われ、数えやすい新たな結果を生みだしている」と考察を加えている。
(8) 対角線化
格子の中の各１×１正方形について、右上から左下へ向かう対角線を引いたとする。格子の左上半分はこれらの対角線によりｎ段に分けられる。この１段目には２×１本のマッチがあり、２段目には２×２本のマッチが、・・・、ｎ段目には２×ｎ本がある。つまり、格子の左上半分には２(１＋２＋・・・＋ｎ)本のマッチがある。格子全体では２×２(１＋２＋・・・＋ｎ)本となる。ここでは補助的構成が(6)とは異なる役割を果たしている。補助的構成は現れるパタンを認識しやすくし、数えるのを体系化するような視覚的手助けとなっているが、それ自身は数えられるものではない。この事例の示唆することとしてHershkowitz氏らは、「視覚化は単に現存する（あるいは加えうる）要素の分解と構成にとどまらない。視覚的手がかりをより明らかにし、考え方を示唆するように場面を再配列し、変形し、再提出するような、外的要素を導入することも含むのである」としている。
(9) 文字式からの出発
(4)で解いたある解決者は、その結果である２ｎ(ｎ＋１）から１＋２＋・・・＋ｎの和の公式を思い出し、２ｎ(ｎ＋１)＝４×（（ｎ(ｎ＋1))／２）と考えて、１＋２＋・・・＋ｎとなるパタンを見出すという目的を持って図を眺めた。それにより図の新たな分解を見出している（４つの階段の組み合わせ)。つまり、「視覚的推論が文字式によりガイドされ、インスピレーションを与えられ、支えられ」ている。
以上の事例から、Hershkowitz氏らは以下のようなポイントを引き出している。
論文の最後に述べられている、文字式の導入においてマッチ棒の問題のようなものを使うことは、我が国では比較的多く行われているように思えるが、逆に言えば、我が国における数学の授業を行う上での知恵を大切に見直すことをこの論文を示唆しているとも言えよう。また、そうした場面が利用されながらも、すぐに「ｎ個のときのマッチ棒の本数は？」といった文字式への以降が急がれ、Hershkowitz氏らが述べているような、式の同等性から式変形を考えるといった面や、文字式と視覚的推論との相互作用といった点が見落とされていることもしばしばであろう。文字式の初期の学習で生徒が直面する困難について、マッチ棒の問題のような場面がどのような役割を果たしうるか、またそのためにどのような活動が必要かについては、考えていかなければならない点も多いと思われる（例えば、谷沢 (2001) を参照されたい）。
論文のタイトルにも出てくる視覚的推論についても、個々の解答に見られる視覚的推論はすでに気づかれているものが多いように思うが、それらを統一的に捉えて、視覚化も「一般的でフォーマルな解法に至るような、分析的過程そのものになりうる」(p. 262) と述べたことは興味深い。このことは、図による表現を直観的として分析的な推論と対立させるような単純な議論を避けることにも通ずるし、また、図の利用において解決者がいろいろと考えていかねばならない部分のあることを再確認させてくれる（こうした部分については、廣井 (2001)、あるいは布川 (2000)を参照されたい)。
参考文献