第1節では、算術と代数の違いを扱った先行研究が概観されている。第１のグループはHerscovics & Linchevski の「認知的ギャップ」などの先行研究。第２のグループはSfardの「操作的」と「構造的」の区別を算術と代数の差に関連させる先行研究。第３のものとして、Charbonneau（1996年のBednarzらの本の中の論文）によって注目されたもので、算術は既知の数について計算して、答えに向かって進めていくのに対し、代数では既知と未知の両方を用いて関係を記述し、そこから同値な関係を導いていく。いわば、最初に問題が解けたと仮定して考えを進めていく、「解析法」として特徴づけられることになる。著者らは、この第３の考えが彼らの知見に直接関係しているとしている。

　彼女らの調査ではオーストラリアの12の中等学校が扱われ、13歳から16歳までの生徒が参加し、彼らの多くは文字式の学習の３年目ないしは４年目にあたる。記述された解答についてはおよそ900人分が集められ、また30名に対して１対１のインタビューが行われた。使われた問題では、先行研究に見られる難度を高める特徴を持たないように配慮している。例としてあげられている問題のうちの２つは以下のようなものである。

• （バスの問題）生徒が３日間のバス旅行に行った。二日目に移動した距離は一日目よりも85km多かった。三日目に移動した距離は一日目よりも125km多かった。移動した全部の距離は1410kmであった。一日目に移動した距離をｘで表わし、文字式を用いて、それぞれの日の移動した距離を求めよ
  
• （数の問題）私はいまある数を考えている。それに８をかけ、３を引き、それから３で割る。結果は、私が最初に考えた数の２倍である。その数はいくつか？

記述された解答の量的分析から、まず以下のようなことが見出されている。

• ３分の１程度の生徒は正しい方程式を書くことができた。一方で、多くの方程式は答えを得るのには使われず、生徒の中には答えを求めた後で方程式を書く者もいた。
  
• ｘが等式の一方だけに現れる問題では正答率（方程式以外の方法も含む）が６〜７割だが、両方に現れる問題の正答率は２割をきっている。
  
• 例えば、上のバスの問題のようなときは推論で解き、数の問題では方程式を使う、といった、適当な方法を選択しているということに関しての証拠は見あたらなかった。

1. 算術的推論：場面を論理的に分析し、分かっている数から求めるものを計算する。上の「バスの問題」であれば、二日目と三日目に余分に走った距離を85+125＝210と求め、これを全体の走行距離1410から引いて３で割る。問題文中の演算を逆向きに考えていくことも含まれる。この考え方は、未知数が両辺に現れるような問題（例えば上の「数の問題」）ではうまく使うことができない。
2. 試行錯誤：このやり方は、方程式を書くといった文字式のルートをとった生徒によっても用いられた。代入して両辺を等しく数を探すこととなり、問題場面に沿った「前向きの演算」が用いられる。運用上は、(1)ランダムに代入、(2)順序良く代入、(3)前の試行結果を考慮して次に代入するものを選ぶ、といった３通りが述べられている。小数まで考慮しないと上の「数の問題」は解けないことになる。
3. 公式を書く（表面的な文字式のルート）：例えば上の「バスの問題」についてｘ＝[1410−（85−125)]／３あるいはｘ＝[ｃ-(a+b)]／3のように、求めるものｘを求める公式を書くやり方。結局は文字式的な考えは使われていない。ax+b=cといった方程式を書いてもその「道具のような特性」(DeCorteら）が生徒に見えにくいのに対し、公式であれば使い方がわかりやすい、という生徒の傾向を示すものとされている。これをうけStacey氏らは、同等性に関する陳述としての方程式という捉え方が、文字式的な方法の利用にとって決定的であると述べている。
4. 文字式の利用・方程式を書く：文字を未知量を示すために用いる生徒もいる反面、実行されるべき計算の結果を示すために文字を用いる生徒もいる。また未知量をｘとおいてそこで止まってしまう生徒もいる。方程式が書けても、解の求め方は多様であるし（例えば試行錯誤）、方程式を放棄して問題自体に戻り、算術的な考えや試行錯誤で解くものも多い。
5. 文字式の利用・方程式を解く：上でも触れられているように、多様な解く方法が見られた。フローチャート上で演算を逆向きに考えたり、試行錯誤にしたりする方法は、解くべき直接的な問題が文字式の記号で表わされているという意味においてのみ、文字式で考えている。完全に文字式のやり方で解いた生徒は少数であるが、そうした集団では正答率は高くなっている。

　第４節では、インタビューの結果をもとに、算術的な思考が方程式の定式化に干渉する２つの仕方について述べられている。これらの背景には、計算をしなければという強迫観念がある。

　第１の仕方は、なぜ方程式を書くのか、についての捉え方である。生徒の多くに、答えを求めることと文字式で考えることとが分離している様子が見え、答を求める前に方程式を書くよう求めると、「答えを見つけなくていいの？」「答えを見つけないと方程式は書けない」といった困惑が見られた。インタビュアーが方程式を作って、与えられた情報を表現することを説明すると、「それは問題を書き換えてるだけだ」と不満をもらす生徒もいた。方程式がこのように捉えられている限り、問題解決のための方法としては利用されにくいと、Stacey氏らは考えているようである。

　第２の仕方は、文字の指し示すものが多義的であったり、解決の途中で変化していく、ということであるが、Stacey氏らは「今計算しようとしているもの」をｘとおいたり、算術的に考えたものをｘを用いて無理に表現しようとすることから、こうした文字の使い方が起こっていると考えているようである。こうした文字の使い方として、彼らは三つの様式をあげている。

• 一つの方定式の中でｘが異なる量を指す：この例として、ｘ＋ｘ＋ｘ＝12に対して、最初のｘが２を、残りのｘが５を表わすことを６年生や８年生が受け入れるという先行研究（Fujii,1993)があげられている。
  
• 思考の異なる段階でｘが様々な量を指す：例えば「47ドルをマークとジャンで分けるのに、マークの方が5ドル多くなるようにする」という場面を考えるのに、ある生徒はマークの金額をｘ＋５を表わした後、ｘ＋５＝47という式を書いている。このｘが何かを尋ねると、「二人がもらう金額」と言ってみたり「ジャンがもらう金額」と答えている。さらには「47ドルとｘと5ドル多いというので何かを作ろうとした」と、発話している。
  
• ｘが任意の未知量あるいは未知量の組み合わせに対する一般的なラベルとなっている：先のバスの問題でｘ＋85＋125＝1410という式を書いている生徒が何名がいた。これは「わからない量＋初日の多い分＋二日目の多い分」といった内容を示すものと思われる。また先の47ドルを分ける問題で、ｘ÷(1/2)＝ｘという式を書いた生徒がいるが、これはある未知量を半分に分けると別の量が得られる、といった「行為の説明」(action statement)になっていると述べられている。

　第４節の最後に算術からの影響をまとめているが、一つは今述べた文字や未知量に対する見方であり、計算で求められるであろうものとしてそれを見ることで、ｘの指すものが変化したり、いくつかの未知量を合わせたものになったりする。もう一つは方程式に対する見方であり、これについては３つのものが区別されている；(a)答えを計算するための公式；(b)結果を導く演算を記述する物語(narrative)；(c)本質的な関係の記述。２番目に関して、例えば(8n-3)/3=2nと書いた生徒が成功率が高いのに対し、n×8-3÷3＝n×2と書いた生徒では「見慣れた視覚的刺激」が与えられないために、方程式を操作できなかったとされている。後者の式を書いた生徒は3分の１以上いたが、式はそれぞれの行為が表現されている物語と捉えられているようである。こうしたことから、方程式が同等性についての陳述であるという捉え方が、問題を解くために代数的な方法を用いることにとって、決定的に重要であると著者らは述べている(p.164)。

　最後の節では教授への示唆が述べられている。第１の点は、生徒のニーズに応えることを強調するあまり、文字式を使わないインフォーマルなやり方を許すことに危険性を述べており、彼らが調査を行った学校のいくつかではこうしたアプローチが行われていた。第２の点は、文字式の有用性が感じられる問題を利用しなければならないということである。算術的な推論や試行錯誤で解ける問題を用いつづけるとすると、文字式を余計な負担と生徒が感じても仕方のないことである。文字式なしでは簡単に解けない問題へと徐々に移行することが、問題解決のツールとしての文字式の価値を感得するには必要なことであると指摘している。

　生徒が直面する困難の原因を以前の学習の中に見出そうとするともに、問題解決のツールという文字式の目標を大切にしようとする立場が、本稿からは一貫して感じられる。