★ 方程式と関数

例えば  $3x+2$  という式を考えて見ます。気持ちを切り替えて、
こうした式も 数の「仕組み」の表現 であると考えたのでした。
ただ、「仕組み」の一部に 数字で表せない 部分がある時には、
$x$ という文字を使うのでした。

この $x$ にいろいろな値を 代入して みると、それに応じて
$3x+2$  の値が決まります。ですから、 $3x+2$ は  $x$ の 関数 で
あると言えます。 (気になる人は、今の式 $3x+2$ を $y$ と表す
ことにして、つまり $y=3x+2$ だと考えて、$y$ は $x$ の関数だと
言えばよいでしょう)

このように、 $3x+2$  の値は $x$ の値に応じて いろいろな値に
なりますが、ここで追加の情報が得られたとします。
例えば、「どうも  $3x+2$  の値は $6.5$ らしい」という情報が
入手できたとします。すると、 $x$ の値はなんでもいいという
わけにはいかなくなります。実際、$x=1$  や $x=2$ を代入
しても、$3x+2$  の値は $6.5$ にはなりません。

このように、式の値について情報が加わり、 $3x+2=6.5$  と
表されるようになり、 $x$ の値により等式が成り立ったり、
成り立たなかったりするようになると、この等式は方程式に
なります。

他に「今の式  $3x+2$  と別の式  $5x-7$  が同じ値になる
そうだ」といった情報が加わり、 $3x+2=5x-7$  と表される
ようになると、 $x$ の値により 等式が成り立ったり、
成り立たなかったりするようになります。なので、この等式も
方程式です。

このように、式の中の $x$ にいろいろな値を 自由に代入する
ことのできる時は関数の話になり、情報が加わり等式で
表されるようになって少し自由度が下がり、
そのため、$x$ の値により 等式が成り立ったり、成り立た
なかったりするようになると、方程式の話になります。

でも、同じ文字式に関わることなので、関数と方程式は
持ちつ持たれつの関係にあります。関数で  $3x+2$
の値が $6.5$ になるのは  $x$ の値がいくつの時かを調べる
際には、方程式が役に立ちます。
逆に、 $3x+2=6.5$  という方程式を考える時に、
関数  $y=3x+2$  で $y$ の値が $6.5$  となる時ととらえなおし、
その時の $x$ の値をグラフや表を利用して求めることもできます。
要するに  $3x+2$  といった式の値について、その変わり方に
注意を向けるか、それとも
それが特定の条件を満たす時に注意を向けるかの違いで
しかありません。まずは代入などにより式の値について
イメージをふくらませ、 その上で、その場その場の目的に
応じて式とつきあっていきましょう。

ちなみに、 $3x+2=3(x+\frac{2}{3})$ といった等式の場合も
あります。この等式は、どのような $x$ の値の時でも
成り立ちます。この等式は、左辺と右辺とが同じ数の
異なる表現となっているというメッセージを伝えようとして
いるのです。なので、左辺を右辺で置き換えても、右辺を
左辺で置き換えもいいことになります。恒(つね)に等しい
式なので恒等式と呼ばれたりします。この時も、 $x$ に
いろいろな値を代入してみると、その恒等式が伝えたい
メッセージが見えてきます。