★ 無理数育成ゲーム

２乗すると $4$ になる数なら  $2$ と  $-2$  であると納得できます。
また２乗して  $1.5625$ になる数だとしても、 それが $1.25$ と
 $-1.25$ であることも、 計算をすれば納得できそうです。
でも、２乗して $3$ になる数は  $\sqrt{3}$ と  $-\sqrt{3}$  だと言われても、
そもそも  $\sqrt{3}$  が数なのかどうかはっきりせずに、しっくりこない
かもしれません。

こうした気持ちはむしろ自然なことです。どんなものなら「数だ」と
言ってよいのかがはっきりしないので、確かめようがないようにも
思います。そこで、ここは気持ちを切り替えて、
 $\sqrt{3}$ のように 根号のついたままでしか考えられないものについて、
それが「数かどうか」を考えるのではなく、それを
「数として一人前になるように育てていこう」と考えましょう

例えば $\sqrt{3}$ で についてわかっている仕組みは、「２乗したら
 $3$  になる」ということだけです。この仕組みだけを手がかりにして、
これまで学習してきた数と同じようなことが考えられて、しかも
これまでの数ときちんと共存できるように、  $\sqrt{3}$ や  $\sqrt{5}$ などを
「数として育てていく」のです。

では「数となる」には、どんなことが必要でしょうか？
今までの数のことを思い出すと、次のことが必要でしょう。

• 大小を考えることができる
• 四則演算（たし算、ひき算、かけ算、わり算）ができる

なお、この育成ゲームにうまく参加するには、いくつかのコツが
あります。１つは、 数 や 分数、 わり算 などのとらえかたを、
算数のものから中学校のものへと、あらかじめバージョンアップ
しておくことです。
 $\sqrt{3}+\sqrt{5}$  のような＋の入ったものをたし算の答えとして
見ることになりますが、
＋の入った式も数の１つの表現なんだと、
気持ちを切り替えてあれば大丈夫です。

もう１つは、今までの数に対して使っていた計算のきまりが、
大切な場面で使われているので、それに注意を向けるという
ことです。例えば、  $\sqrt{2}\times \sqrt{3}$ をどう決めたらよいかを考える際に、
 ${(\sqrt{2}\times \sqrt{3})}^2$ を計算して、
 $(\sqrt{2}\times \sqrt{3})\times (\sqrt{2}\times \sqrt{3})=$ \sqrt{2}\times \sqrt{3}\times \sqrt{2}\times \sqrt{3}$$
 $=(\sqrt{2}\times \sqrt{2})\times (\sqrt{3}\times \sqrt{3})=2\times 3=6$
であることから、  $\sqrt{2}\times \sqrt{3}$は２乗すると $2\times 3=6$ となる数
だと決めるのがよさそうだ、つまり、  $\sqrt{2}\times \sqrt{3}=\sqrt{2\times 3}$
と決めるのがよさそうだとしたわけです。

ここでは実は、根号のついたものについて乗法の結合法則と
乗法の交換法則が用いられています。よく考えてみれば、まだ
数として一人前になる途中なので、こうした法則を根号の
ついたものにも使っていいのかは、わからない気がします。
でもここは、今までの数となかよく共存してほしい、という
期待もこめて、発展途上の根号のついたものにも、今までの
計算のきまりが成り立つと考えて、ストーリーを作っています。